Números racionales vs irracionales

Racional e irracional son las dos mitades de los números reales: todo real es exactamente uno u otro.

Números racionales

Un número real es racional si puede expresarse como $\frac{p}{q}$ donde $p, q$ son enteros y $q \neq 0$.

Caracterización decimal: los racionales tienen decimales que o bien terminan ($0.25 = \frac{1}{4}$) o finalmente se repiten ($0.\overline{3} = \frac{1}{3}$, $0.1\overline{6} = \frac{1}{6}$).

El conjunto de los racionales se denota $\mathbb{Q}$. Aunque es denso (entre dos racionales cualesquiera hay otro racional), los racionales son numerables: misma cardinalidad que $\mathbb{N}$.

Números irracionales

No pueden expresarse como cociente de enteros. Los decimales son no finitos y no periódicos.

Irracionales famosos:

• $\pi \approx 3.14159...$
• $e \approx 2.71828...$
• $\sqrt{2} \approx 1.41421...$
• $\phi$ (razón áurea) $= (1 + \sqrt{5})/2$.

El conjunto de los irracionales es no numerable: estrictamente mayor que los racionales, aunque los racionales sean densos.

Por qué importa

• Que $\sqrt{2}$ sea irracional fue un célebre descubrimiento pitagórico (la leyenda dice que Hipaso fue ahogado por revelarlo).
• Que $\pi$ sea irracional significa que nunca se puede escribir como fracción.
• El decimal de $1/7 = 0.\overline{142857}$: el periodo de repetición es a lo sumo $q - 1$.

Cómo comprobarlo

Si tienes un número, pregúntate:

• El decimal termina → racional.
• El decimal se repite con un periodo claro → racional.
• El decimal continúa sin repetirse (p. ej. $\pi$, $e$, $\sqrt{2}$) → irracional.

Las pruebas algebraicas usan la clausura: los racionales son cerrados bajo $+, -, \times, /$ (excepto 0). La suma de dos irracionales puede ser racional (p. ej. $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$).