Prismas y cajas

Cubo

$V = s^3$

Lado al cubo. Un cubo de lado $s$ se llena con $s^3$ cubos unitarios — la versión 3D del argumento del cuadrado unitario.

Prisma rectangular (caja)

$V = l \cdot w \cdot h$

Largo × ancho × alto. El área de la base es $l w$ ; apilar $h$ capas de esa base da $lwh$ .

Prisma general

$V = A_{\text{base}} \cdot h$

Área de la base por la altura. Por el principio de Cavalieri, cualquier prisma con la misma sección y altura tiene el mismo volumen — triangular, hexagonal u oblicuo, todos usan esta fórmula.

Pirámides, conos y troncos

Pirámide (general)

$V = \tfrac{1}{3} A_{\text{base}} \cdot h$

Un tercio del prisma correspondiente. El "un tercio" sale de integrar $A_{\text{base}}\bigl(\tfrac{z}{h}\bigr)^2$ de 0 a $h$ — la sección se reduce linealmente.

Cono

$V = \tfrac{1}{3} \pi r^2 h$

La misma regla del "un tercio" que la pirámide, con base circular $\pi r^2$ . Tres conos iguales rellenan exactamente un cilindro.

Tronco de cono

$V = \tfrac{\pi h}{3}\bigl(R^2 + R r + r^2\bigr)$

Dos caras circulares paralelas de radios $R$ (abajo) y $r$ (arriba), altura $h$ . Se obtiene restando el cono pequeño del grande; el término $Rr$ aparece por la diferencia de cubos.

Cilindros

Cilindro

$V = \pi r^2 h$

Caso particular del prisma general: base circular $\pi r^2$ apilada hasta altura $h$ . Los cilindros oblicuos usan la misma fórmula gracias a Cavalieri.

Cilindro hueco (tubo)

$V = \pi (R^2 - r^2) h$

Volumen del cilindro exterior menos el interior — el mismo truco de resta que la corona circular llevado a 3D.

Esferas y elipsoides

Esfera

$V = \tfrac{4}{3}\pi r^3$

La famosa "cuatro tercios pi r al cubo". Resultado de Arquímedes: una esfera es exactamente $\tfrac{2}{3}$ del cilindro mínimo que la contiene.

Hemisferio

$V = \tfrac{2}{3}\pi r^3$

Media esfera — exactamente la mitad de $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ . Útil para cúpulas, cuencos y configuraciones de integración.

Elipsoide

$V = \tfrac{4}{3}\pi a b c$

Tres semiejes $a, b, c$ . Cuando $a = b = c = r$ recuperas la esfera $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ : la esfera es un elipsoide especial.

Toro (rosquilla)

$V = 2\pi^2 R r^2$

Radio mayor $R$ (centro al eje del tubo), radio menor $r$ (tubo). Teorema de Pappus: área $\pi r^2$ recorrida en torno a un círculo de circunferencia $2\pi R$ .

Volumen Formulas