Multiplicación de matrices: una guía paso a paso con ejemplos resueltos

La multiplicación de matrices es la operación que mueve el álgebra lineal, los gráficos por computadora, el aprendizaje automático y las simulaciones de física. Sin embargo, la mayoría de los estudiantes la aprende como una receta mecánica y nunca ve por qué se define así. Esta guía te da la receta y la intuición.

Primero, la regla de las dimensiones

Antes de calcular nada, comprueba las dimensiones. Para multiplicar $A \cdot B$:

• $A$ debe tener forma $m \times n$
• $B$ debe tener forma $n \times p$
• El resultado $AB$ tiene forma $m \times p$

Las dimensiones interiores deben coincidir ($n = n$); las dimensiones exteriores se convierten en la forma del resultado.

Si alguna vez intentas multiplicar una $3 \times 4$ por una $5 \times 2$, la operación no está definida —ninguna aritmética te salvará.

La receta fila por columna

El elemento $(i, j)$ de $AB$ es el producto escalar de la fila $i$ de $A$ con la columna $j$ de $B$:

$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}$

Ejemplo resuelto

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$

Calcula $AB$:

• $(AB)_{11} = 1\cdot 5 + 2\cdot 7 = 19$
• $(AB)_{12} = 1\cdot 6 + 2\cdot 8 = 22$
• $(AB)_{21} = 3\cdot 5 + 4\cdot 7 = 43$
• $(AB)_{22} = 3\cdot 6 + 4\cdot 8 = 50$

Así que $AB = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$.

¿Por qué se define así la multiplicación?

Las matrices representan aplicaciones lineales entre espacios vectoriales. Si $A$ va de $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^m$, y $B$ va de $\mathbb{R}^p$ a $\mathbb{R}^n$, entonces $AB$ debería ser la composición de esas aplicaciones. La regla fila por columna es precisamente lo que produce la composición. La receta no es arbitraria —se deduce de la exigencia de que $AB$ codifique "primero aplica $B$, luego aplica $A$".

Propiedades (¡y no-propiedades!)

Propiedad	¿Se cumple?
$A(BC) = (AB)C$ asociativa	Sí
$A(B + C) = AB + AC$ distributiva	Sí
$AB = BA$ conmutativa	No, en general
$AB = 0 \Rightarrow A = 0$ o $B = 0$	No

La no conmutatividad es el mayor ajuste mental respecto a la aritmética escalar.

Errores comunes

• Sumar en lugar de multiplicar los productos fila-columna (haces ambos: multiplica por pares y luego suma).
• Cambiar el orden de la comprobación de dimensiones —debe ser $(m \times n)(n \times p)$, no $(n \times m)(n \times p)$.
• Suponer la conmutatividad —$AB$ podría ni siquiera estar definida aunque $BA$ lo esté.

Pruébalo con el Solucionador de matrices con IA

Escribe cualquier par de matrices en la Calculadora de matrices para ver el trabajo fila por fila completo.

Referencias relacionadas:

• Calculadora de determinantes —combina de forma natural con los productos $2\times 2$
• Calculadora de inversas —usa $AB = I$ como relación definitoria
• Calculadora de vectores —el producto escalar subyace a cada elemento