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Rechner für uneigentliche Integrale

Berechne uneigentliche Integrale mit unendlichen Grenzen oder unbeschränkten Integranden mit KI-Schritt-für-Schritt-Lösungen

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integral from 0 to infinity of e^(-x) dx
integral from 1 to infinity of 1/x^2 dx
integral from 0 to 1 of 1/sqrt(x) dx
integral from -infinity to infinity of 1/(1+x^2) dx

Was ist ein uneigentliches Integral?

Ein uneigentliches Integral ist ein bestimmtes Integral, bei dem entweder:

  1. Das Intervall unendlich ist: z. B. ∫1∞f(x) dx\int_1^\infty f(x)\,dx oder ∫−∞∞f(x) dx\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx
  2. Der Integrand eine senkrechte Asymptote im Inneren oder an einem Endpunkt des Intervalls hat: z. B. ∫011x dx\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx

In beiden Fällen ist das Standard-Riemann-Integral undefiniert, aber wir können ihm manchmal mithilfe von Grenzwerten einen endlichen Wert zuordnen.

Wenn der Grenzwert existiert und endlich ist, konvergiert das uneigentliche Integral. Wenn der Grenzwert unendlich ist oder nicht existiert, divergiert das Integral.

Uneigentliche Integrale sind zentral in der Wahrscheinlichkeitstheorie (Normierungskonstanten), bei Laplace- und Fourier-Transformationen sowie bei Konvergenzkriterien für Reihen.

So berechnet man uneigentliche Integrale

Typ 1: Unendliches Intervall

Ersetze die Unendlichkeit durch einen Grenzwert:

∫a∞f(x) dx=lim⁡t→∞∫atf(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x)\,dx

∫−∞bf(x) dx=lim⁡t→−∞∫tbf(x) dx\int_{-\infty}^b f(x)\,dx = \lim_{t \to -\infty} \int_t^b f(x)\,dx

Für beide Grenzen unendlich teile an einem beliebigen geeigneten Punkt cc auf:

∫−∞∞f(x) dx=∫−∞cf(x) dx+∫c∞f(x) dx\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \int_{-\infty}^c f(x)\,dx + \int_c^\infty f(x)\,dx

Beide Teile müssen unabhängig konvergieren — andernfalls divergiert das gesamte Integral.

Typ 2: Unbeschränkter Integrand

Wenn ff bei x=cx = c innerhalb von [a,b][a, b] unbeschränkt ist, teile auf und bilde Grenzwerte:

∫abf(x) dx=lim⁡t→c−∫atf(x) dx+lim⁡s→c+∫sbf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to c^-}\int_a^t f(x)\,dx + \lim_{s \to c^+}\int_s^b f(x)\,dx

Wenn die Singularität bei x=ax = a liegt:

∫abf(x) dx=lim⁡t→a+∫tbf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x)\,dx

Der pp-Test

∫1∞1xp dxkonvergiert, falls p>1, divergiert, falls p≤1\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx \quad \text{konvergiert, falls } p > 1, \text{ divergiert, falls } p \leq 1

∫011xp dxkonvergiert, falls p<1, divergiert, falls p≥1\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx \quad \text{konvergiert, falls } p < 1, \text{ divergiert, falls } p \geq 1

Der kritische Exponent ist p=1p = 1. Beachte die entgegengesetzten Konvergenzregeln für die beiden Fälle.

Vergleichskriterium

Wenn 0≤f(x)≤g(x)0 \leq f(x) \leq g(x) auf dem Intervall gilt:

  • ∫g\int g konvergiert ⇒∫f\Rightarrow \int f konvergiert
  • ∫f\int f divergiert ⇒∫g\Rightarrow \int g divergiert

Nützlich, wenn das Integral selbst schwer, die Schranke aber einfach ist.

Häufige Fehler, die man vermeiden sollte

  • ∞\infty als Zahl behandeln: Du kannst ∞\infty nicht 'einsetzen'. Du musst einen Grenzwert verwenden.
  • Innere Singularitäten übersehen: ∫−111x dx\int_{-1}^1 \frac{1}{x}\,dx hat eine Singularität bei 00 innerhalb des Intervalls. Naives Auswerten ergibt 00 (falsch) — das Integral divergiert tatsächlich.
  • Stückweise uneigentliche Integrale addieren, die sich 'aufheben': ∫−∞∞x dx\int_{-\infty}^\infty x\,dx — beide Hälften divergieren, also divergiert das Integral. Der 'Hauptwert' ist ein anderer (schwächerer) Begriff.
  • Falsche Richtung des pp-Tests: Bei ∞\infty konvergiert 1/xp1/x^p für p>1p > 1. Bei 00 konvergiert es für p<1p < 1. Diese sind entgegengesetzt — merke dir beide.
  • Vergessen, vor dem Integrieren die Konvergenz zu prüfen: Ein divergentes uneigentliches Integral hat keinen Wert. Prüfe immer zuerst die Konvergenz.

Examples

Step 1: Ersetze die Grenze durch einen Grenzwert: lim⁡t→∞∫0te−x dx\lim_{t \to \infty} \int_0^t e^{-x}\,dx
Step 2: Berechne die Stammfunktion: ∫e−x dx=−e−x+C\int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C
Step 3: Wende die Grenzen an: lim⁡t→∞[−e−x]0t=lim⁡t→∞(−e−t+1)\lim_{t \to \infty} \left[-e^{-x}\right]_0^t = \lim_{t \to \infty}(-e^{-t} + 1)
Step 4: Für t→∞t \to \infty gilt e−t→0e^{-t} \to 0, also ist der Grenzwert gleich 11
Answer: 11 (konvergiert)

Step 1: Wende den pp-Test mit p=1p = 1 an: ∫1∞1/xp dx\int_1^\infty 1/x^p\,dx konvergiert genau dann, wenn p>1p > 1
Step 2: Hier ist p=1p = 1, also divergiert das Integral
Step 3: Überprüfe per Grenzwert: lim⁡t→∞[ln⁡x]1t=lim⁡t→∞ln⁡t=∞\lim_{t \to \infty} [\ln x]_1^t = \lim_{t \to \infty} \ln t = \infty
Answer: Divergiert

Step 1: Singularität bei x=0x = 0. Nutze den pp-Test bei 00: 1/xp1/x^p konvergiert genau dann, wenn p<1p < 1
Step 2: Hier ist p=1/2<1p = 1/2 < 1, also konvergiert es
Step 3: Berechne: lim⁡t→0+∫t1x−1/2 dx=lim⁡t→0+[2x]t1\lim_{t \to 0^+} \int_t^1 x^{-1/2}\,dx = \lim_{t \to 0^+} [2\sqrt{x}]_t^1
Step 4: =lim⁡t→0+(2−2t)=2= \lim_{t \to 0^+} (2 - 2\sqrt{t}) = 2
Answer: 22 (konvergiert)

Frequently Asked Questions

Ein uneigentliches Integral konvergiert, wenn der es definierende Grenzwert endlich ist. Andernfalls divergiert es, was bedeutet, dass die Fläche unter der Kurve entweder unendlich oder undefiniert ist.

Der p-Test gilt für Integrale der Form ∫1/x^p über [1, ∞) oder (0, 1]. Er ist am nützlichsten als Vergleich: Wenn sich dein Integrand asymptotisch wie 1/x^p verhält, kannst du die Konvergenz schnell bestimmen.

Ein uneigentliches Integral konvergiert absolut, wenn ∫|f| konvergiert. Es konvergiert bedingt, wenn ∫f konvergiert, aber ∫|f| divergiert. Absolute Konvergenz ist strikt stärker.

Ja — die Fläche kann unendlich sein. ∫_1^∞ 1/x dx ist das kanonische Beispiel: Die Kurve y = 1/x ist über [1, ∞) überall positiv, dennoch ist die Fläche darunter unendlich (divergiert).

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