Rationale vs. irrationale Zahlen

Rational und irrational sind die zwei Hälften der reellen Zahlen — jede reelle Zahl ist genau das eine oder das andere.

Rationale Zahlen

Eine reelle Zahl ist rational, wenn sie als $\frac{p}{q}$ ausgedrückt werden kann, wobei $p, q$ ganze Zahlen sind und $q \neq 0$.

Dezimale Charakterisierung: rationale Zahlen haben Dezimaldarstellungen, die entweder abbrechen ($0.25 = \frac{1}{4}$) oder schließlich periodisch werden ($0.\overline{3} = \frac{1}{3}$, $0.1\overline{6} = \frac{1}{6}$).

Die Menge der rationalen Zahlen wird mit $\mathbb{Q}$ bezeichnet. Obwohl sie dicht ist (zwischen je zwei rationalen Zahlen liegt eine weitere rationale Zahl), sind die rationalen Zahlen abzählbar — gleiche Mächtigkeit wie $\mathbb{N}$.

Irrationale Zahlen

Können nicht als Verhältnis ganzer Zahlen ausgedrückt werden. Die Dezimaldarstellungen sind nicht-abbrechend und nicht-periodisch.

Berühmte irrationale Zahlen:

• $\pi \approx 3.14159...$
• $e \approx 2.71828...$
• $\sqrt{2} \approx 1.41421...$
• $\phi$ (Goldener Schnitt) $= (1 + \sqrt{5})/2$.

Die Menge der irrationalen Zahlen ist überabzählbar — echt größer als die rationalen Zahlen, obwohl die rationalen Zahlen dicht sind.

Warum das wichtig ist

• Dass $\sqrt{2}$ irrational ist, war eine berühmte pythagoreische Entdeckung (der Legende nach wurde Hippasos ertränkt, weil er sie verriet).
• Dass $\pi$ irrational ist, bedeutet, dass man es nie als Bruch schreiben kann.
• Die Dezimaldarstellung von $1/7 = 0.\overline{142857}$ — die Periodenlänge ist höchstens $q - 1$.

Wie man testet

Wenn Sie eine Zahl haben, fragen Sie:

• Dezimaldarstellung bricht ab → rational.
• Dezimaldarstellung wiederholt sich mit klarer Periode → rational.
• Dezimaldarstellung läuft ohne Wiederholung weiter (z. B. $\pi$, $e$, $\sqrt{2}$) → irrational.

Algebraische Tests nutzen Abgeschlossenheit: die rationalen Zahlen sind abgeschlossen unter $+, -, \times, /$ (außer 0). Die Summe zweier irrationaler Zahlen kann rational sein (z. B. $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$).