Direkte vs. umgekehrte Proportionalität

Direkte Proportionalität und umgekehrte Proportionalität sind die zwei einfachsten nicht-trivialen Beziehungen zwischen Variablen — und die Grundlage für das Verständnis komplexerer Modelle.

Direkte Proportionalität: y = kx

Zwei Größen sind direkt proportional, wenn $y = k x$ für eine konstante $k \neq 0$ gilt (die Proportionalitätskonstante).

• Verdoppelt sich $x$, verdoppelt sich $y$.
• Halbiert sich $x$, halbiert sich $y$.
• Der Graph geht durch den Ursprung mit Steigung $k$.

Beispiele: Weg vs. Zeit bei konstanter Geschwindigkeit ($d = v t$), Hookesches Gesetz ($F = k x$), einfache Löhne ($\text{Lohn} = \text{Satz} \cdot \text{Stunden}$).

Umgekehrte Proportionalität: y = k/x

Zwei Größen sind umgekehrt proportional, wenn $y = k/x$.

• Verdoppelt sich $x$, halbiert sich $y$.
• Für $x \to \infty$ gilt $y \to 0$.
• Der Graph ist eine Hyperbel, die die Achsen nie schneidet.

Beispiele: Boyle-Mariottesches Gesetz (Druck × Volumen = konstant bei konstanter Temperatur), Zeit bei fester Arbeit ($t = \text{Strecke} / v$), Varianten des ohmschen Gesetzes.

Wie man aus Daten erkennt, welche vorliegt

Trage $y$ gegen $x$ auf. Liegen die Punkte auf einer Geraden durch den Ursprung, ist es direkte Proportionalität. Liegen sie auf einer gegen null abfallenden Hyperbel, ist es umgekehrte Proportionalität. Oder prüfe, ob $\frac{y}{x}$ konstant ist (direkt) gegenüber $xy$ konstant (umgekehrt).

Verbundene und gemeinsame Proportionalität

• Gemeinsame Proportionalität: $y = kxz$ (zwei direkte Variablen).
• Verbundene: $y = kx/z$ (eine direkt, eine umgekehrt). Beispiel: Gravitationskraft $F = G m_1 m_2 / r^2$ — direkt in den Massen, umgekehrt quadratisch im Abstand.

Fazit

Erkenne anhand der Frage "Nimmt das andere zu oder ab, wenn eines zunimmt, und in welchem Verhältnis?" Direkt → beide bewegen sich gemeinsam; umgekehrt → entgegengesetzte Richtung mit reziprokem Verhältnis.