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Cheat Sheet

Volumen Formulas

Eine druckbare und durchsuchbare Referenz aller gängigen 3D-Volumenformeln — mit einer einzeiligen Notiz, wann jede gilt und welcher geometrischen Idee sie folgt. Setze ein Lesezeichen, wenn du Raumgeometrie wiederholst, dich auf Prüfungen vorbereitest oder schnell das "Volumen eines Kegels" nachschlagen willst. Jede Formel verlinkt auf den Schritt-für-Schritt-Löser von AI-Math.

Prismen & Quader

Würfel

V=s3V = s^3

Kantenlänge hoch drei. Ein Würfel der Kante ss wird durch s3s^3 Einheitswürfel ausgefüllt — die 3D-Version des Einheitsquadrat-Arguments.

Quader

V=l⋅w⋅hV = l \cdot w \cdot h

Länge × Breite × Höhe. Grundfläche lwl w; in hh Lagen gestapelt ergibt lwhlwh.

Allgemeines Prisma

V=Abase⋅hV = A_{\text{base}} \cdot h

Grundfläche × Höhe. Nach Cavalieri haben Prismen mit gleicher Querschnittsfläche und Höhe gleiches Volumen — Dreiecks-, Sechsecks- und schiefe Prismen folgen alle dieser einen Formel.

Pyramiden, Kegel & Stümpfe

Pyramide (allgemein)

V=13Abase⋅hV = \tfrac{1}{3} A_{\text{base}} \cdot h

Ein Drittel des entsprechenden Prismas. Das „ein Drittel" stammt aus der Integration von Abase(zh)2A_{\text{base}}\bigl(\tfrac{z}{h}\bigr)^2 von 0 bis hh — der Querschnitt schrumpft linear.

Kegel

V=13πr2hV = \tfrac{1}{3} \pi r^2 h

Dieselbe „1/3"-Regel wie bei der Pyramide, Grundfläche πr2\pi r^2. Drei Kegel mit gleicher Grundfläche und Höhe füllen genau einen Zylinder.

Kegelstumpf

V=πh3(R2+Rr+r2)V = \tfrac{\pi h}{3}\bigl(R^2 + R r + r^2\bigr)

Zwei parallele Kreisflächen mit Radien RR (unten) und rr (oben), Höhe hh. Herleitung durch Subtraktion des kleinen Kegels vom großen; der Mischterm RrRr stammt aus der Differenz der Kuben.

Zylinder

Zylinder

V=πr2hV = \pi r^2 h

Sonderfall des allgemeinen Prismas: Kreisfläche πr2\pi r^2 bis Höhe hh gestapelt. Schiefe Zylinder folgen dank Cavalieri derselben Formel.

Hohlzylinder (Rohr)

V=π(R2−r2)hV = \pi (R^2 - r^2) h

Volumen des äußeren minus des inneren Zylinders — der Subtraktions-Trick des Kreisrings in 3D.

Kugeln & Ellipsoide

Kugel

V=43πr3V = \tfrac{4}{3}\pi r^3

Das berühmte 43πr3\tfrac{4}{3}\pi r^3. Archimedes-Resultat: eine Kugel ist genau 23\tfrac{2}{3} des kleinsten umschließenden Zylinders.

Halbkugel

V=23πr3V = \tfrac{2}{3}\pi r^3

Halbe Kugel — genau die Hälfte von 43πr3\tfrac{4}{3}\pi r^3. Nützlich für Kuppeln, Schalen und Integrationsaufgaben.

Ellipsoid

V=43πabcV = \tfrac{4}{3}\pi a b c

Drei Halbachsen a,b,ca, b, c. Bei a=b=c=ra = b = c = r ergibt sich die Kugel 43πr3\tfrac{4}{3}\pi r^3 — eine Kugel ist ein spezielles Ellipsoid.

Torus (Donut)

V=2π2Rr2V = 2\pi^2 R r^2

Großer Radius RR (Mittelpunkt zur Röhrenmitte), kleiner Radius rr (Röhre). Pappus-Theorem: Fläche πr2\pi r^2 um einen Kreis mit Umfang 2πR2\pi R herumgeführt.

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