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Cheat Sheet

Geometrie Formulas

Jede Geometrie-Formel, die ein Schüler von der Mittelstufe bis zur Universität braucht: Umfänge, Flächen, Volumina, Oberflächen und Winkelbeziehungen, nach Form geordnet. Jede Formel verlinkt zum passenden AI-Math-Löser — Zahlen einfügen, Schritte ansehen.

2D-Formen — Umfang & Fläche

Quadrat

P=4s,A=s2P = 4s,\quad A = s^2

Alle vier Seiten gleich.

Rechteck

P=2l+2w,A=l⋅wP = 2l + 2w,\quad A = l \cdot w

Länge × Breite.

Dreieck (allgemein)

A=12bhA = \tfrac{1}{2} b h

Grundseite × Höhe ÷ 2.

Dreieck (Heron)

A=s(s−a)(s−b)(s−c), s=a+b+c2A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\ s=\tfrac{a+b+c}{2}

Fläche allein aus drei Seiten — nützlich, wenn keine Höhe gegeben ist.

Parallelogramm

A=bhA = b h

Wie beim Rechteck (Schrägstellung ändert die Fläche nicht).

Trapez

A=12(b1+b2)hA = \tfrac{1}{2}(b_1 + b_2) h

Mittelwert der parallelen Seiten × Höhe.

Kreis

C=2πr,A=πr2C = 2\pi r,\quad A = \pi r^2

Umfang und Fläche aus dem Radius.

Regelmäßiges Vieleck (n Seiten)

A=12PaA = \tfrac{1}{2} P a

PP = Umfang, aa = Apothema (Abstand Mittelpunkt zur Seite).

3D-Formen — Volumen

Würfel

V=s3V = s^3

Seite hoch drei.

Quader

V=l⋅w⋅hV = l \cdot w \cdot h

Volumen der Box.

Zylinder

V=πr2hV = \pi r^2 h

Kreisfläche × Höhe.

Kegel

V=13πr2hV = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h

Ein Drittel des Zylinders mit gleicher Basis und Höhe.

Kugel

V=43πr3V = \tfrac{4}{3}\pi r^3

Das berühmte „vier Drittel pi r hoch drei“.

Pyramide (quadratische Grundfläche)

V=13s2hV = \tfrac{1}{3} s^2 h

Gleiche Ein-Drittel-Regel wie beim Kegel.

3D-Formen — Oberfläche

Würfel

SA=6s2SA = 6 s^2

Sechs identische Flächen.

Quader

SA=2(lw+lh+wh)SA = 2(lw + lh + wh)

Zwei Flächen jeder Art.

Zylinder

SA=2πr2+2πrhSA = 2\pi r^2 + 2\pi r h

Zwei kreisförmige Enden + Seitenwand.

Kugel

SA=4πr2SA = 4\pi r^2

Genau das Vierfache eines Kreises mit gleichem Radius.

Kegel

SA=πr2+πrℓ, ℓ=r2+h2SA = \pi r^2 + \pi r \ell,\ \ell=\sqrt{r^2+h^2}

Grundfläche + Mantel; ℓ\ell ist die Mantellinie.

Rechtwinkliges Dreieck / Pythagoras

Satz des Pythagoras

a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

Rechtwinkliges Dreieck: Katheten a,ba, b; Hypotenuse cc.

Abstandsformel

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}

Satz des Pythagoras auf Koordinaten angewendet.

Spezielle rechtwinklige Dreiecke

30°−60°−90°:1:3:230°-60°-90°: 1 : \sqrt{3} : 2

Seitenverhältnisse, die du ohne Rechnung nennen kannst.

Spezielle rechtwinklige Dreiecke

45°−45°−90°:1:1:245°-45°-90°: 1 : 1 : \sqrt{2}

Gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck.

Winkel & Kreise

Winkelsumme im Dreieck

A+B+C=180°A + B + C = 180°

Immer.

Winkelsumme im Vieleck

S=(n−2)⋅180°S = (n - 2) \cdot 180°

Konvexes Vieleck mit nn Seiten.

Umfangswinkel

θinscribed=12θcentral\theta_{\text{inscribed}} = \tfrac{1}{2}\theta_{\text{central}}

Umfangswinkel = halber Mittelpunktswinkel über demselben Bogen.

Bogenlänge

s=rθs = r\theta

Bogenmaß. Bogenlänge auf einem Kreis mit Radius rr.

Sektorfläche

A=12r2θA = \tfrac{1}{2} r^2 \theta

Tortenstück. Bogenmaß.

Analytische Geometrie

Mittelpunkt

M=(x1+x22,y1+y22)M = \bigl(\tfrac{x_1+x_2}{2}, \tfrac{y_1+y_2}{2}\bigr)

Mittelwert der Koordinaten.

Steigung zwischen zwei Punkten

m=y2−y1x2−x1m = \tfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Höhenänderung geteilt durch Längsänderung.

Kreisgleichung

(x−h)2+(y−k)2=r2(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2

Mittelpunkt (h,k)(h, k), Radius rr.

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