Vierecke — Flächenformeln

Quadrat

$A = s^2$

Seitenlänge zum Quadrat. Ein Quadrat ist ein Rechteck mit gleichen Seiten, also wird $A = l\cdot w$ zu $s^2$ .

Rechteck

$A = l \cdot w$

Länge × Breite. Pflasterargument mit Einheitsquadraten: ein Rechteck mit ganzzahligen Seiten $l\times w$ enthält genau $lw$ Einheitsquadrate.

Parallelogramm

$A = b \cdot h$

Grundseite × senkrechte Höhe — nicht die Schrägseite. Schneide das Dreieck am einen Ende ab und schiebe es ans andere: das Parallelogramm wird zum Rechteck.

Raute

$A = \tfrac{1}{2} d_1 d_2$

Die Hälfte des Produkts der Diagonalen — sie halbieren sich rechtwinklig und zerlegen die Raute in vier kongruente rechtwinklige Dreiecke.

Trapez

$A = \tfrac{1}{2}(a + b)\,h$

Mittelwert der parallelen Seiten $a,b$ mal Höhe $h$ . Klebe zwei Kopien gegeneinander und du erhältst ein Parallelogramm mit Grundseite $a+b$ .

Drachenviereck

$A = \tfrac{1}{2} d_1 d_2$

Dieselbe Diagonalenprodukt-Formel wie bei der Raute — das Drachenviereck ist die allgemeinere Form, deren Diagonalen weiterhin senkrecht stehen.

Dreiecke — je nach gegebenen Daten

Grundseite & Höhe

$A = \tfrac{1}{2} b h$

Halbe Grundseite × Höhe — gilt für jedes Dreieck. Zwei Kopien bilden ein Parallelogramm der Grundseite $b$ und Höhe $h$ .

Heron-Formel (drei Seiten)

$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\ s = \tfrac{a+b+c}{2}$

Verwenden, wenn nur die drei Seitenlängen und keine Höhe bekannt sind. $s$ ist der halbe Umfang.

Zwei Seiten und Zwischenwinkel (SWS)

$A = \tfrac{1}{2} a b \sin C$

Fälle das Lot vom dritten Eckpunkt; seine Länge ist $a\sin C$ , was die Standardformel $\tfrac{1}{2}\cdot\text{Grund}\cdot\text{Höhe}$ liefert.

Gleichseitiges Dreieck

$A = \tfrac{\sqrt{3}}{4} a^2$

Sonderfall der SWS-Formel mit $a=b$ und $C = 60^{\circ}$ ; $\sin 60^{\circ} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ liefert die Konstante $\tfrac{\sqrt{3}}{4}$ .

Kreise und gekrümmte Formen

Kreis

$A = \pi r^2$

Pi mal r-Quadrat. Folgt aus der Integration des Umfangs $2\pi r$ , wenn $r$ von 0 wächst — Zwiebelring-Herleitung.

Kreissektor

$A = \tfrac{1}{2} r^2 \theta$

Winkel $\theta$ im Bogenmaß. Anteil $\theta / (2\pi)$ der vollen Kreisfläche $\pi r^2$ .

Kreisring

$A = \pi (R^2 - r^2)$

Fläche des äußeren Kreises minus Fläche des inneren Kreises — das Loch wird subtrahiert, nicht gemessen.

Ellipse

$A = \pi a b$

Halbe große Achse $a$ mal halbe kleine Achse $b$ mal $\pi$ . Bei $a = b = r$ ergibt sich $\pi r^2$ — ein Kreis ist eine Ellipse mit gleichen Achsen.

Regelmäßige Vielecke & Koordinaten

Regelmäßiges n-Eck

$A = \tfrac{1}{2} P a$

$P$ ist der Umfang, $a$ die Apothem-Länge (Abstand Mittelpunkt-Seite). Zerlege das Polygon in $n$ kongruente Dreiecke und die Formel folgt.

Regelmäßiges Sechseck

$A = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} a^2$

Ein regelmäßiges Sechseck besteht aus genau sechs gleichseitigen Dreiecken der Seitenlänge $a$ : $6 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} a^2$ .

Koordinaten (Schnürsenkelformel)

$A = \tfrac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)\right|$

Setze die Eckkoordinaten $(x_i, y_i)$ der Reihe nach ein und schließe den Ring ( $x_{n+1}=x_1$ ). Funktioniert für jedes einfache Polygon — keine Triangulation nötig.

Flächeninhalt Formulas