Überlebenspaket für trigonometrische Identitäten

Es gibt Dutzende trigonometrische Identitäten, aber in der Praxis musst du dir nur etwa ein Dutzend merken — der Rest lässt sich in Sekunden daraus herleiten. Diese Seite ist das Überlebenspaket: jede Identität, die ihren Platz verdient, mit kurzen durchgerechneten Beispielen für jede.

Das pythagoreische Trio

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$
$1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$

Die erste ist die meistgenutzte Identität in der gesamten Mathematik. Die anderen beiden erhält man, indem man durch $\cos^2$ bzw. $\sin^2$ teilt.

Additions- und Subtraktionsformeln

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta$
$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta$

Eselsbrücke für cos: „cos cos minus sin sin“ mit entgegengesetztem Vorzeichen — sin ist „sin cos plus cos sin“ mit gleichem Vorzeichen.

Doppelwinkelformeln

Setze $\alpha = \beta = \theta$ in die Additionsformeln ein:

$\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta$
$\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 1 - 2\sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1$
$\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$

Drei Formen der Cosinus-Variante existieren wegen der pythagoreischen Identität. Wähle diejenige, die zum Rest deines Ausdrucks passt.

Halbwinkelformeln

Löst man die Cosinus-Doppelwinkelformel nach $\sin^2$ und $\cos^2$ auf, ergibt sich:

$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}, \quad \cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$

Das sind die Potenzreduktions-Identitäten — sie sind der Grund, warum $\int \sin^2 x \, dx$ elementar wird.

Durchgerechnetes Beispiel: Vereinfachung

Vereinfache $\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)}$.

1. Zähler: $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$.
2. Nenner: $1 + \cos(2x) = 1 + (2\cos^2 x - 1) = 2\cos^2 x$.
3. Quotient: $\frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$.

Der ganze sperrige Ausdruck schrumpft zu $\tan x$.

Häufige Fehler

• Vorzeichenfehler in den Additionsformeln — schreibe die Formel aus, verlass dich nicht mitten im Problem auf dein Gedächtnis.
• $\sin^2\theta$ bedeutet $(\sin\theta)^2$, nicht $\sin(\sin\theta)$.
• Vergessen, dass $2\theta$ der Winkel ist, nicht das 2-Fache des Werts — $\sin(2 \cdot 30°) = \sin 60°$, nicht $2\sin 30°$.

Probiere es mit dem KI-Trigonometrielöser

Der Trigonometrielöser nimmt jeden Ausdruck und wendet alle diese Identitäten an, um ihn zu vereinfachen oder zu lösen.

Verwandte Referenzen:

• Vereinfachungsrechner — dieselben Vereinfachungsideen, in Polynomausprägung
• Integralrechner — die Potenzreduktion ist entscheidend für trigonometrische Integrale
• Reihenrechner — die Taylor-Entwicklungen von sin und cos verwenden diese direkt