Partialbruchzerlegung: der vollständige Arbeitsablauf

Die Partialbruchzerlegung ist die algebraische Fertigkeit, mit der du jede rationale Funktion auf dem Planeten integrieren kannst. Statt mit einem hässlichen Bruch zu kämpfen, zerlegst du ihn in Teile, die sich Term für Term leicht integrieren lassen. Diese Anleitung geht jeden Fall durch, dem du begegnen wirst.

Die Ausgangslage

Eine rationale Funktion ist $\frac{P(x)}{Q(x)}$, wobei $P, Q$ Polynome sind. Die Partialbruchzerlegung funktioniert nur, wenn der Grad von $P$ < Grad von $Q$ ist. Falls nicht, führe zuerst eine Polynomdivision durch, um den Polynomanteil abzuspalten.

Nach der Division zerlege $Q(x)$ vollständig über den reellen Zahlen. Jeder Faktor fällt in eine von vier Kategorien.

Die vier Fälle

Fall 1: verschiedene Linearfaktoren

Wenn $Q(x) = (x - a)(x - b)$, schreibe:

$\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$

Beispiel. Zerlege $\frac{5x - 1}{(x - 1)(x + 2)}$.

Multipliziere durch: $5x - 1 = A(x + 2) + B(x - 1)$.

Setze $x = 1$ ein: $4 = 3A \Rightarrow A = 4/3$.
Setze $x = -2$ ein: $-11 = -3B \Rightarrow B = 11/3$.

Also $\frac{5x-1}{(x-1)(x+2)} = \frac{4/3}{x-1} + \frac{11/3}{x+2}$.

Fall 2: wiederholter Linearfaktor

Für $(x - a)^k$ brauchst du einen Term pro Potenz bis zu $k$:

$\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \dots + \frac{A_k}{(x-a)^k}$

Fall 3: irreduzibler quadratischer Faktor

Für jedes irreduzible $x^2 + bx + c$ verwende einen Zähler mit zwei Unbekannten:

$\frac{Bx + C}{x^2 + bx + c}$

Fall 4: wiederholter irreduzibler quadratischer Faktor

Dieselbe Idee wie in Fall 2, aber jede Potenz erhält eine Form $Bx + C$.

Anwendung bei der Integration

Nach der Zerlegung integrierst du Term für Term:

• $\int \frac{1}{x - a} dx = \ln|x - a| + C$
• $\int \frac{1}{(x - a)^k} dx = \frac{-1}{(k-1)(x-a)^{k-1}} + C$ für $k > 1$
• $\int \frac{Bx + C}{x^2 + bx + c} dx$ teilt sich in einen $\ln$-Anteil und einen $\arctan$-Anteil auf.

Häufige Fehler

• Vergessen, zuerst die Polynomdivision durchzuführen, wenn der Grad von $P$ ≥ Grad von $Q$ ist.
• Wiederholte Terme überspringen — $(x - 1)^3$ erfordert drei separate Brüche.
• Versuchen, irreduzible quadratische Faktoren zu zerlegen — prüfe die Diskriminante, bevor du reelle Nullstellen erzwingst.

Probiere es mit dem KI-Integralrechner

Der Integralrechner führt die Partialbruchzerlegung bei Bedarf automatisch durch und zeigt jeden Schritt.

Verwandte Referenzen:

• Faktorisierungsrechner — zum Zerlegen von $Q(x)$
• Polynomrechner — für die Vorbereitung der Polynomdivision
• Grenzwertrechner — wird bei einigen Verifizierungstricks der Partialbruchzerlegung verwendet