Matrixmultiplikation: eine Schritt-für-Schritt-Anleitung mit durchgerechneten Beispielen

Die Matrixmultiplikation ist die Operation, die lineare Algebra, Computergrafik, maschinelles Lernen und Physiksimulationen antreibt. Dennoch lernen die meisten Schüler sie als mechanisches Rezept und sehen nie, warum sie so definiert ist, wie sie ist. Dieser Leitfaden gibt dir sowohl das Rezept als auch die Intuition.

Zuerst die Dimensionsregel

Bevor du irgendetwas berechnest, prüfe die Dimensionen. Um $A \cdot B$ zu multiplizieren:

• $A$ muss die Form $m \times n$ haben
• $B$ muss die Form $n \times p$ haben
• Das Ergebnis $AB$ hat die Form $m \times p$

Die inneren Dimensionen müssen übereinstimmen ($n = n$); die äußeren Dimensionen werden zur Form des Ergebnisses.

Wenn du jemals versuchst, eine $3 \times 4$ mit einer $5 \times 2$ zu multiplizieren, ist die Operation nicht definiert — keine noch so große Rechnung wird dich retten.

Das Rezept Zeile mal Spalte

Der Eintrag $(i, j)$ von $AB$ ist das Skalarprodukt von Zeile $i$ von $A$ mit Spalte $j$ von $B$:

$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}$

Durchgerechnetes Beispiel

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$

Berechne $AB$:

• $(AB)_{11} = 1\cdot 5 + 2\cdot 7 = 19$
• $(AB)_{12} = 1\cdot 6 + 2\cdot 8 = 22$
• $(AB)_{21} = 3\cdot 5 + 4\cdot 7 = 43$
• $(AB)_{22} = 3\cdot 6 + 4\cdot 8 = 50$

Also $AB = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$.

Warum ist die Multiplikation so definiert?

Matrizen repräsentieren lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen. Wenn $A$ von $\mathbb{R}^n$ nach $\mathbb{R}^m$ abbildet und $B$ von $\mathbb{R}^p$ nach $\mathbb{R}^n$, dann sollte $AB$ die Verkettung dieser Abbildungen sein. Die Regel Zeile mal Spalte ist genau das, was die Verkettung erzeugt. Das Rezept ist nicht willkürlich — es ergibt sich aus der Forderung, dass $AB$ "wende zuerst $B$ an, dann $A$" kodiert.

Eigenschaften (und Nicht-Eigenschaften!)

Eigenschaft	Gilt?
$A(BC) = (AB)C$ assoziativ	Ja
$A(B + C) = AB + AC$ distributiv	Ja
$AB = BA$ kommutativ	Nein, im Allgemeinen
$AB = 0 \Rightarrow A = 0$ oder $B = 0$	Nein

Die Nicht-Kommutativität ist die größte mentale Umstellung gegenüber der skalaren Arithmetik.

Häufige Fehler

• Addieren statt Multiplizieren der Zeile-Spalte-Produkte (du machst beides — paarweise multiplizieren, dann summieren).
• Die Reihenfolge der Dimensionsprüfung vertauschen — es muss $(m \times n)(n \times p)$ sein, nicht $(n \times m)(n \times p)$.
• Kommutativität annehmen — $AB$ ist möglicherweise gar nicht definiert, auch wenn $BA$ es ist.

Probiere es mit dem KI-Matrixrechner

Gib ein beliebiges Matrizenpaar in den Matrixrechner ein, um die vollständige zeilenweise Rechnung zu sehen.

Verwandte Referenzen:

• Determinantenrechner — passt natürlich zu $2\times 2$-Produkten
• Inversenrechner — nutzt $AB = I$ als definierende Beziehung
• Vektorrechner — das Skalarprodukt liegt jedem Eintrag zugrunde