Potenzen verdichten wiederholte Multiplikation in eine einzige elegante Schreibweise. Sobald du die sieben Regeln unten verinnerlicht hast, wird das Vereinfachen von Ausdrücken wie $\frac{x^5 y^{-2}}{x^{-3} y^4}$ zu einer 30-Sekunden-Übung. Diese Seite ist der Spickzettel, den du während der Hausaufgaben offen halten kannst.

Warum Potenzen wichtig sind

Die Potenzgesetze sind nicht willkürlich — sie folgen alle aus der Definition $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \text{ Faktoren}}$ . Sobald du siehst, warum jede Regel funktioniert, hörst du auf auswendig zu lernen und beginnst, sie bei Bedarf herzuleiten.

Die sieben grundlegenden Gesetze

#	Gesetz	Beispiel
1	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$x^3 \cdot x^4 = x^7$
2	$a^m / a^n = a^{m-n}$	$x^7 / x^2 = x^5$
3	$(a^m)^n = a^{mn}$	$(x^2)^3 = x^6$
4	$(ab)^n = a^n b^n$	$(2x)^3 = 8x^3$
5	$(a/b)^n = a^n / b^n$	$(x/y)^4 = x^4/y^4$
6	$a^{-n} = 1/a^n$	$x^{-3} = 1/x^3$
7	$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$	$8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 4$

Hinzu kommen die zwei definitorischen Fälle: $a^0 = 1$ für jedes $a \ne 0$ und $a^1 = a$ .

Durchgerechnetes Beispiel: Regeln kombinieren

Vereinfache $\frac{(2x^3)^2 \cdot x^{-4}}{4x^{-1}}$ .

Wende Regel 4 auf die Klammer an: $(2x^3)^2 = 4x^6$ .
Setze ein: $\frac{4x^6 \cdot x^{-4}}{4x^{-1}}$ .
Kürze die 4: $\frac{x^6 \cdot x^{-4}}{x^{-1}}$ .
Fasse den Zähler mit Regel 1 zusammen: $\frac{x^2}{x^{-1}}$ .
Wende Regel 2 an: $x^{2 - (-1)} = x^3$ .

Die gesamte Vereinfachung ist reine Buchführung — die Regeln tragen dich.

Intuition für negative und gebrochene Exponenten

Ein negativer Exponent bedeutet nicht „negative Zahl"; er bedeutet Kehrwert. Also ist $5^{-2} = 1/25$ , nicht $-25$ .

Ein gebrochener Exponent $a^{p/q}$ ist Wurzel-dann-Potenz (oder Potenz-dann-Wurzel, dieselbe Antwort). Der Nenner wählt die Wurzel, der Zähler wählt die Potenz: $32^{3/5} = (\sqrt[5]{32})^3 = 2^3 = 8$ .

Häufige Fehler

$(a + b)^n \ne a^n + b^n$ — Exponenten verteilen sich nicht über die Addition. $(2 + 3)^2 = 25$ , nicht $4 + 9$ .
$a^{-n} \ne -a^n$ — ein negativer Exponent ist der Kehrwert, keine Negation.
$0^0$ ist in der Algebra und Kombinatorik üblicherweise $1$ , aber in manchen Analysis-Kontexten undefiniert. Sei im Zweifelsfall vorsichtig.

Mit dem KI-Potenzlöser ausprobieren

Füge einen beliebigen Ausdruck in den Potenz-/Vereinfachungslöser ein und du erhältst eine schrittweise Vereinfachung, die genau die obigen Regeln verwendet.

Verwandte Links:

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