الأعداد النسبية مقابل غير النسبية

النسبية وغير النسبية نصفا الأعداد الحقيقية — كل عدد حقيقي هو بالضبط أحدهما.

الأعداد النسبية

العدد الحقيقي نسبي إذا أمكن التعبير عنه على صورة $\frac{p}{q}$ حيث $p, q$ عددان صحيحان و $q \neq 0$.

التوصيف العشري: للأعداد النسبية كسور عشرية إمّا منتهية ($0.25 = \frac{1}{4}$) أو دورية في النهاية ($0.\overline{3} = \frac{1}{3}$، $0.1\overline{6} = \frac{1}{6}$).

تُرمز مجموعة الأعداد النسبية بـ $\mathbb{Q}$. ورغم كثافتها (بين أي عددين نسبيين عدد نسبي آخر)، فإن الأعداد النسبية قابلة للعدّ — لها قدرة المجموعة نفسها كـ $\mathbb{N}$.

الأعداد غير النسبية

لا يمكن التعبير عنها كنسبة عددين صحيحين. الكسور العشرية غير منتهية وغير دورية.

أعداد غير نسبية شهيرة:

• $\pi \approx 3.14159...$
• $e \approx 2.71828...$
• $\sqrt{2} \approx 1.41421...$
• $\phi$ (النسبة الذهبية) $= (1 + \sqrt{5})/2$.

مجموعة الأعداد غير النسبية غير قابلة للعدّ — أكبر تمامًا من النسبية، رغم أن النسبية كثيفة.

لماذا يهمّ هذا

• كون $\sqrt{2}$ غير نسبي كان اكتشافًا فيثاغوريًا شهيرًا (تقول الأسطورة إن هيباسوس غُرّق لكشفه عنه).
• كون $\pi$ غير نسبي يعني أنك لا تستطيع أبدًا كتابته ككسر.
• الكسر العشري لـ $1/7 = 0.\overline{142857}$ — طول الدور لا يتجاوز $q - 1$.

كيف تختبر

إذا كان لديك عدد، اسأل:

• الكسر العشري منتهٍ → نسبي.
• الكسر العشري يتكرّر بدور واضح → نسبي.
• الكسر العشري يستمرّ دون تكرار (مثل $\pi$، $e$، $\sqrt{2}$) → غير نسبي.

تستخدم الاختبارات الجبرية الانغلاق: الأعداد النسبية منغلقة تحت $+, -, \times, /$ (باستثناء 0). مجموع عددين غير نسبيين قد يكون نسبيًا (مثل $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$).