التناسب الطردي مقابل العكسي

التناسب الطردي والتناسب العكسي هما أبسط علاقتين غير تافهتين بين المتغيرات — وأساس فهم النماذج الأكثر تعقيدًا.

التناسب الطردي: y = kx

تتناسب كميتان طرديًا إذا كان $y = k x$ من أجل ثابت غير صفري $k$ (ثابت التناسب).

• عندما يتضاعف $x$، يتضاعف $y$.
• عندما يصير $x$ نصفًا، يصير $y$ نصفًا.
• يمرّ التمثيل البياني عبر نقطة الأصل بميل $k$.

أمثلة: المسافة مقابل الزمن بسرعة ثابتة ($d = v t$)، قانون هوك ($F = k x$)، الأجور البسيطة ($\text{الأجر} = \text{المعدل} \cdot \text{الساعات}$).

التناسب العكسي: y = k/x

تتناسب كميتان عكسيًا إذا كان $y = k/x$.

• عندما يتضاعف $x$، يصير $y$ نصفًا.
• عندما $x \to \infty$، فإن $y \to 0$.
• التمثيل البياني قطع زائد لا يقطع المحاور أبدًا.

أمثلة: قانون بويل (الضغط × الحجم = ثابت عند درجة حرارة ثابتة)، الزمن لعمل ثابت ($t = \text{المسافة} / v$)، صور قانون أوم.

كيف تميّز أيهما من البيانات

ارسم $y$ مقابل $x$. إذا وقعت النقاط على خط مستقيم يمرّ بالأصل، فهو تناسب طردي. وإذا وقعت على قطع زائد يتناقص نحو الصفر، فهو تناسب عكسي. أو تحقّق ممّا إذا كان $\frac{y}{x}$ ثابتًا (طردي) مقابل $xy$ ثابتًا (عكسي).

التناسب المركّب والمشترك

• التناسب المشترك: $y = kxz$ (متغيران طرديان).
• المركّب: $y = kx/z$ (واحد طردي وآخر عكسي). مثال: قوة الجاذبية $F = G m_1 m_2 / r^2$ — طردية في الكتلتين، وعكسية مع مربع المسافة.

الحكم

ميّز بالسؤال "عندما يزداد أحدهما، هل يزداد الآخر أم ينقص، وبأي نسبة؟" طردي → يتحرّكان معًا؛ عكسي → اتجاه معاكس بنسبة مقلوبة.