ضرب المصفوفات: دليل خطوة بخطوة مع أمثلة محلولة

ضرب المصفوفات هو العملية التي تحرّك الجبر الخطي ورسوميات الحاسوب وتعلّم الآلة ومحاكاة الفيزياء. ومع ذلك، يتعلّمه معظم الطلاب كوصفة آلية ولا يرون أبداً لماذا عُرّف بهذه الطريقة. يقدّم لك هذا الدليل الوصفة و الحدس معاً.

قاعدة الأبعاد أولاً

قبل أن تحسب أي شيء، تحقّق من الأبعاد. لضرب $A \cdot B$:

• يجب أن يكون لـ $A$ الشكل $m \times n$
• يجب أن يكون لـ $B$ الشكل $n \times p$
• النتيجة $AB$ لها الشكل $m \times p$

يجب أن تتطابق الأبعاد الداخلية ($n = n$)؛ وتصبح الأبعاد الخارجية شكل النتيجة.

إذا حاولت يوماً ضرب مصفوفة $3 \times 4$ في $5 \times 2$، فإن العملية غير معرّفة — ولن ينقذك أي قدر من الحساب.

وصفة الصف في العمود

العنصر $(i, j)$ من $AB$ هو الجداء السلمي للصف $i$ من $A$ مع العمود $j$ من $B$:

$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}$

مثال محلول

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$

احسب $AB$:

• $(AB)_{11} = 1\cdot 5 + 2\cdot 7 = 19$
• $(AB)_{12} = 1\cdot 6 + 2\cdot 8 = 22$
• $(AB)_{21} = 3\cdot 5 + 4\cdot 7 = 43$
• $(AB)_{22} = 3\cdot 6 + 4\cdot 8 = 50$

إذن $AB = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$.

لماذا عُرّف الضرب بهذه الطريقة؟

تمثّل المصفوفات تطبيقات خطية بين فضاءات المتجهات. إذا كان $A$ يطبّق من $\mathbb{R}^n$ إلى $\mathbb{R}^m$، وكان $B$ يطبّق من $\mathbb{R}^p$ إلى $\mathbb{R}^n$، فيجب أن يكون $AB$ هو تركيب هذين التطبيقين. وقاعدة الصف في العمود هي بالضبط ما يُنتج التركيب. الوصفة ليست اعتباطية — بل تنبثق من شرط أن يرمّز $AB$ المعنى "طبّق $B$ أولاً، ثم طبّق $A$".

خصائص (ولاخصائص!)

الخاصية	تتحقّق؟
$A(BC) = (AB)C$ تجميعية	نعم
$A(B + C) = AB + AC$ توزيعية	نعم
$AB = BA$ تبديلية	لا، بصفة عامة
$AB = 0 \Rightarrow A = 0$ أو $B = 0$	لا

عدم التبديلية هو أكبر تعديل ذهني واحد قياساً بحساب الأعداد القياسية.

أخطاء شائعة

• الجمع بدلاً من الضرب لجداءات الصف والعمود (تقوم بـ الاثنين — اضرب أزواجاً ثم اجمع).
• عكس ترتيب فحص الأبعاد — يجب أن يكون $(m \times n)(n \times p)$، وليس $(n \times m)(n \times p)$.
• افتراض التبديلية — قد لا يكون $AB$ معرّفاً أصلاً إذا كان $BA$ معرّفاً.

جرّب مع حلّال المصفوفات بالذكاء الاصطناعي

أدخِل أي زوج من المصفوفات في حاسبة المصفوفات للحصول على عمل صفّاً بصفّ معروض بالكامل.

مراجع ذات صلة:

• حاسبة المحدّد — تتناغم طبيعياً مع جداءات $2\times 2$
• حاسبة المعكوس — تستخدم $AB = I$ كعلاقة معرِّفة
• حاسبة المتجهات — الجداء السلمي يقوم خلف كل عنصر