有理数 vs 无理数

有理数 与 无理数 是实数的两半——每个实数恰好是其中之一。

有理数

如果一个实数可以表示为 $\frac{p}{q}$，其中 $p, q$ 为整数且 $q \neq 0$，则它是 有理数。

小数特征：有理数的小数要么 有限（$0.25 = \frac{1}{4}$），要么最终 循环（$0.\overline{3} = \frac{1}{3}$，$0.1\overline{6} = \frac{1}{6}$）。

有理数集记作 $\mathbb{Q}$。尽管它是稠密的（任意两个有理数之间还有另一个有理数），有理数却是 可数的——与 $\mathbb{N}$ 的基数相同。

无理数

不能表示为整数之比。小数是 无限不循环 的。

著名的无理数：

• $\pi \approx 3.14159...$
• $e \approx 2.71828...$
• $\sqrt{2} \approx 1.41421...$
• $\phi$（黄金比）$= (1 + \sqrt{5})/2$。

无理数集是 不可数的——严格大于有理数集，尽管有理数是稠密的。

为何重要

• $\sqrt{2}$ 是无理数曾是毕达哥拉斯学派著名的发现（传说：希帕索斯因泄露此事而被淹死）。
• $\pi$ 是无理数意味着你永远无法把它写成分数。
• $1/7 = 0.\overline{142857}$ 的小数——循环节长度至多为 $q - 1$。

如何判断

如果你拿到一个数，问自己：

• 小数有限 → 有理数。
• 小数以明确的循环节循环 → 有理数。
• 小数无限延续且不循环（例如 $\pi$、$e$、$\sqrt{2}$）→ 无理数。

代数判别法利用封闭性：有理数在 $+, -, \times, /$（除以 0 除外）下封闭。两个无理数之和 可以是有理数（例如 $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$）。