Discrete vs Continuous

离散与连续是数学中影响最深远的区分之一。判断错了你手上是哪一种，就会用错工具、用错分布、得出错误结论。

离散

离散量只能取 彼此分离的值，通常是整数或一个有限集合。

示例：班级里的学生人数、掷骰子的结果、每单位的缺陷数、网页上的点击次数。

数学工具：求和 $\sum$、概率质量函数 $P(X = k)$、组合学、差分方程、图论。

连续

连续量可以在 某个范围内取任意值，并具有任意精度。

示例：身高、体重、时间、温度、距离。

数学工具：积分 $\int$、概率密度函数 $f(x)$（其中 $P(X = \text{精确值}) = 0$）、微分方程、微积分。

抉择：用哪个框架？

方面	离散	连续
值	分离、可数	范围、不可数
取到精确值的概率	$P(X = k) > 0$	$P(X = a) = 0$ —— 必须使用区间
“求和”工具	$\sum$	$\int$
方程类型	差分方程	微分方程
常见分布	二项、泊松、几何	正态、指数、均匀

常见错误

• 把计数当作连续。“平均每户有 2.3 个孩子”——作为汇总没问题，但“恰好 2.3 个孩子”的概率毫无意义。
• 把测量值当作离散。说身高“是 170 cm”是把一个连续量四舍五入了；假设离散性的统计检验会丢失信息。
• 在概率中混用：不要对连续概率密度函数求和，要对它积分。不要对离散概率质量函数积分，要对它求和。

两者之间的桥梁

中心极限定理 让许多小变量的离散和逼近一个连续的正态分布。连续性校正 在二项（离散）概率与正态（连续）概率之间转换。黎曼和 是通往积分的离散桥梁。