正变 vs 反变关系

正变关系 与 反变关系 是变量之间最简单的两种非平凡关系——也是理解更复杂模型的基础。

正变关系：y = kx

如果对某个非零常数 $k$（变化常数 或 比例常数）有 $y = k x$，则两个量 成正变关系。

• 当 $x$ 加倍时，$y$ 加倍。
• 当 $x$ 减半时，$y$ 减半。
• 图像经过原点，斜率为 $k$。

例子：匀速时的路程与时间（$d = v t$）、胡克定律（$F = k x$）、简单计酬（$\text{薪酬} = \text{费率} \cdot \text{工时}$）。

反变关系：y = k/x

如果 $y = k/x$，则两个量 成反变关系。

• 当 $x$ 加倍时，$y$ 减半。
• 当 $x \to \infty$ 时，$y \to 0$。
• 图像是一条双曲线，永不与坐标轴相交。

例子：玻意耳定律（恒温下压强 × 体积 = 常数）、定功下的时间（$t = \text{路程} / v$）、欧姆定律的各种变形。

如何从数据判断是哪一种

画 $y$ 对 $x$ 的图。若各点落在过原点的一条直线上，则为正变关系。若它们落在衰减到零的双曲线上，则为反变关系。或者检查 $\frac{y}{x}$ 是否为常数（正变）与 $xy$ 是否为常数（反变）。

联合变化与组合变化

• 联合变化：$y = kxz$（两个正变变量）。
• 组合变化：$y = kx/z$（一个正变，一个反变）。例子：万有引力 $F = G m_1 m_2 / r^2$——对质量成正变，对距离成平方反比。

结论

用这个问题来判断：「当一个量增大时，另一个量是增大还是减小，并以什么比例变化？」正变 → 两者一起变动；反变 → 方向相反且成倒数比例。