相关变化率：可重复套用的 6 步解题策略

相关变化率问题听起来很抽象——"一架梯子顺着墙滑下来，顶端下落得有多快？"——但它们都遵循同一套六步模式。掌握这套配方，这些问题就会从令人生畏变成机械操作。

6 步配方

1. 把题目读两遍，找出每一个量。把它画出来。
2. 给会变化的量用字母标记；常量用数字。
3. 找一个方程把变化的量联系起来（几何、勾股、相似三角形、面积、体积……）。
4. 两边对时间 $t$ 隐式求导。每个变化的量都会贡献一个 $\frac{d \cdot}{dt}$ 项。
5. 代入快照值，但只在求导之后。代入太早会抹掉变化率信息。
6. 解出未知的变化率，并复核单位。

示例 1：滑动的梯子

一架 13 英尺的梯子靠在墙上。它的底端以 2 英尺/秒向外滑动。当底端离墙 5 英尺时，顶端向下滑动得有多快？

1. 变量：$x$ = 底端距离，$y$ = 顶端高度。两者都随 $t$ 变化。
2. 约束：$x^2 + y^2 = 169$（勾股——梯子长度恒定）。
3. 求导：$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$。
4. 快照：$x = 5$，所以 $y = \sqrt{169 - 25} = 12$。已知 $\frac{dx}{dt} = 2$。
5. 求解：$2(5)(2) + 2(12)\frac{dy}{dt} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dt} = -\frac{20}{24} = -\frac{5}{6}$ 英尺/秒。

顶端以 $5/6$ 英尺/秒下落。负号意味着高度在减小——合理性检查通过。

示例 2：注水的圆锥

水以 $3 \text{ ft}^3/\text{min}$ 注入一个圆锥（顶点朝下）。圆锥高 10 英尺，顶部半径 4 英尺。当水深为 6 英尺时，水位上升得有多快？

1. 变量：$V$ = 水的体积，$h$ = 水深，$r$ = 水面半径。
2. 圆锥体积：$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$。用相似三角形：$r/h = 4/10 \Rightarrow r = 0.4h$。
3. 代换为单一变量：$V = \frac{1}{3}\pi (0.4h)^2 h = \frac{0.16\pi}{3} h^3$。
4. 求导：$\frac{dV}{dt} = 0.16\pi h^2 \frac{dh}{dt}$。
5. 代入 $h = 6$，$\frac{dV}{dt} = 3$：$3 = 0.16\pi (36) \frac{dh}{dt}$。
6. 求解：$\frac{dh}{dt} = \frac{3}{5.76\pi} \approx 0.166$ 英尺/分。

常见错误

• 太早代入数字——求导会把关系"冻结"住；你会丢失关于事物如何变化的信息。
• 对 $r^2$ 这样的东西求导时忘记链式法则——它变成 $2r \frac{dr}{dt}$，而不是 $2r$。
• 求导前没有用相似三角形消去多余变量。

用 AI 导数求解器试试

用导数计算器来验证任何相关变化率的求导步骤——尤其是隐函数那些。

相关参考：

• 极限计算器 — 导数的底层是极限
• 积分计算器 — 不定积分的搭档
• 三角形求解器 — 用于许多问题的几何建模