部分分式分解：完整的工作流程

部分分式分解是一项代数技能，它能让你积分这世界上任意一个有理函数。与其和一个丑陋的分数搏斗，不如把它拆成若干个可以逐项轻松积分的部分。本指南会带你走过你会遇到的每一种情形。

准备工作

有理函数是 $\frac{P(x)}{Q(x)}$，其中 $P, Q$ 是多项式。部分分式只在 $P$ 的次数 < $Q$ 的次数 时才有效。如果不满足，先做多项式长除法，把多项式部分剥离出来。

做完除法后，把 $Q(x)$ 在实数范围内完全因式分解。每个因式都属于以下四种类别之一。

四种情形

情形 1：相异一次因式

如果 $Q(x) = (x - a)(x - b)$，写成：

$\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$

示例。 分解 $\frac{5x - 1}{(x - 1)(x + 2)}$。

两边同乘：$5x - 1 = A(x + 2) + B(x - 1)$。

代入 $x = 1$：$4 = 3A \Rightarrow A = 4/3$。
代入 $x = -2$：$-11 = -3B \Rightarrow B = 11/3$。

所以 $\frac{5x-1}{(x-1)(x+2)} = \frac{4/3}{x-1} + \frac{11/3}{x+2}$。

情形 2：重复一次因式

对于 $(x - a)^k$，你需要每个幂次各一项，直到 $k$：

$\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \dots + \frac{A_k}{(x-a)^k}$

情形 3：不可约二次因式

对每个不可约的 $x^2 + bx + c$，用一个带两个未知数的分子：

$\frac{Bx + C}{x^2 + bx + c}$

情形 4：重复的不可约二次

与情形 2 思路相同，但每个幂次都取 $Bx + C$ 的形式。

在积分中的应用

一旦分解完成，就逐项积分：

• $\int \frac{1}{x - a} dx = \ln|x - a| + C$
• $\int \frac{1}{(x - a)^k} dx = \frac{-1}{(k-1)(x-a)^{k-1}} + C$（当 $k > 1$ 时）
• $\int \frac{Bx + C}{x^2 + bx + c} dx$ 拆成一个 $\ln$ 部分和一个 $\arctan$ 部分。

常见错误

• 当 $P$ 的次数 ≥ $Q$ 的次数时，忘了先做长除法。
• 跳过重复项——$(x - 1)^3$ 需要三个独立的分式。
• 试图因式分解不可约二次式——在硬求实根之前先检查判别式。

用 AI 积分求解器试一试

积分求解器会在需要时自动进行部分分式分解，并展示每一步。

相关参考：

• 因式分解计算器 —— 用于拆开 $Q(x)$
• 多项式计算器 —— 用于长除法的准备
• 极限计算器 —— 在某些部分分式分解的验证技巧中用到