不等式速查指南：一元一次、复合与绝对值

不等式出现在最优化、工程公差，以及几乎所有现实世界的约束问题中（"预算不得超过……"）。它的运算机制与解方程类似，但有一个关键转折：乘以或除以一个负数时，不等号方向会翻转。本指南把你需要的每一步操作都集中到一页里。

一元一次不等式

把它们完全当作一元一次方程来处理——唯一例外是：每当你对两边乘以或除以一个负数时，要翻转不等号。

解 $-3x + 5 < 14$：

1. 两边减 5：$-3x < 9$。
2. 除以 $-3$ 并翻转：$x > -3$。

解集是开区间 $(-3, \infty)$。

复合不等式

复合不等式用 and（交集）或 or（并集）把两个更简单的不等式组合起来。

解 $-1 \le 2x - 3 < 5$（一个 "and" 三明治）：

1. 三个部分同时加 3：$2 \le 2x < 8$。
2. 除以 2：$1 \le x < 4$。

解：$[1, 4)$。

对于像 $x < -2$ or $x \ge 5$ 这样的 "or" 不等式，解是两段互不相交的区间：$(-\infty, -2) \cup [5, \infty)$。

绝对值不等式

诀窍：$|A| < k$ 改写为 $-k < A < k$，而 $|A| > k$ 改写为 $A < -k$ 或 $A > k$。

解 $|2x - 1| \le 5$：

1. 改写：$-5 \le 2x - 1 \le 5$。
2. 加 1：$-4 \le 2x \le 6$。
3. 除以 2：$-2 \le x \le 3$。解 $[-2, 3]$。

一元二次不等式

把所有项移到一边，因式分解，然后在每个区间上测试符号。

解 $x^2 - x - 6 > 0$：

1. 因式分解：$(x - 3)(x + 2) > 0$。
2. 两个根把数轴分成三个区间：$(-\infty, -2)$、$(-2, 3)$、$(3, \infty)$。
3. 各取一点测试：在 $x = -3$ 处乘积为正；在 $x = 0$ 处为负；在 $x = 4$ 处为正。
4. 解：$(-\infty, -2) \cup (3, \infty)$。

常见错误

• 除以负数时忘记翻转——这是最大的单一错误来源。
• 混淆开区间与闭区间括号：$<$ 用圆括号，$\le$ 用方括号。
• 盲目地对 $|A| < B$ 两边平方：只有当两边都非负时才有效。

用 AI 不等式求解器验证

把任意不等式输入不等式求解器，你就能看到完整的步骤列表——非常适合用来复核作业。

相关参考：

• 方程求解器——同样的代数，相等版本
• 绝对值求解器——用于 $|A| = k$ 类型的题目
• 二次方程求解器——与上面的二次情形配套