配方法：一次终于讲透的分步详解

配方法是那种学生看过一次就忘的代数操作之一。但它正是求根公式、抛物线的顶点式以及若干常见的微积分积分背后唯一的那项技巧。一旦你把这个窍门内化于心，你就拥有了一件能用一辈子的工具。

核心思想

完全平方二项式 $(x + h)^2$ 展开后是 $x^2 + 2hx + h^2$。要把任意表达式 $x^2 + bx$ 变成一个完全平方，你需要加上 $\left(\frac{b}{2}\right)^2$。窍门就这么多。

解题示例：二次项系数为 1 的情形

对 $x^2 + 6x + 5$ 配方。

1. 取一次项系数的一半：$b/2 = 3$。
2. 把它平方：$9$。
3. 重写：$x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$。

我们加了 9 又减了 9——净增量为零，但前三项现在构成了一个完全平方。

解题示例：二次项系数不为 1 的情形

对 $2x^2 + 12x + 7$ 配方。

1. 从前两项中提取因数 2：$2(x^2 + 6x) + 7$。
2. 在括号内配方：$x^2 + 6x + 9 - 9 = (x+3)^2 - 9$。
3. 代回去：$2((x+3)^2 - 9) + 7 = 2(x+3)^2 - 18 + 7 = 2(x+3)^2 - 11$。

应用 1：解二次方程

要解 $x^2 + 6x + 5 = 0$：
$(x + 3)^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x+3)^2 = 4 \Rightarrow x + 3 = \pm 2 \Rightarrow x = -1, -5$。

和求根公式一样的答案，却是从头推导出来的。

应用 2：抛物线的顶点

$y = 2x^2 + 12x + 7 = 2(x + 3)^2 - 11$ 已经是顶点式 $y = a(x - h)^2 + k$。顶点在 $(h, k) = (-3, -11)$，开口向上（因为 $a > 0$）。无需微积分就能直接读出。

应用 3：积分

像 $\int \frac{dx}{x^2 + 4x + 13}$ 这样的积分，正面强攻行不通，但对配方法俯首称臣：$x^2 + 4x + 13 = (x + 2)^2 + 9$，再代换 $u = x + 2$，就能认出一个反正切。

常见错误

• 忘记减去你加上的那一项——表达式必须始终等于它自己。
• 在二次项系数不为 1 的情形里没有先提取最高次项系数。
• 把错误的系数取一半——取一半的是一次项系数 $b$，不是最高次项 $a$。

用 AI 二次方程求解器试一试

二次方程求解器会把配方法与求根公式并排展示出来。

相关参考：

• 因式分解计算器——通往根的另一条路径
• 方程求解器——更广义的解方程工具箱
• 积分计算器——用于上面的微积分应用