Найдите площадь трапеции, у которой диагонали равны 15 и 7, а средняя линия — 10.

Step-by-step solution

1. 1

   Переведём условия задачи к стандартной формуле площади. Для трапеции с основаниями $a$ и $b$ и высотой $h$ справедливо:

   $S=\frac{a+b}{2}\,h=m\,h$

   где $m$ — средняя линия. В нашем случае $m=10$, значит, $S=10h$, а $a+b=2m=20$. Теперь всё сводится к поиску высоты, которую напрямую не дали.

2. 2

   Выполним параллельный перенос одной диагонали, чтобы получить треугольник. Перенесём диагональ $BD$ вдоль вектора $\vec{DC}$ (то есть по направлению оснований). Конец диагонали окажется на продолжении большего основания, и получится треугольник со сторонами, равными двум диагоналям $15$ и $7$, и основанием $a+b=20$. Это ключевой шаг: при таком переносе длина диагонали и высота фигуры не меняются.

3. 3

   Поясним, почему площадь этого треугольника совпадает с площадью трапеции. Новый треугольник имеет основание $a+b=20$ и ту же высоту $h$, что и трапеция, поэтому его площадь равна $\tfrac12(a+b)h=\tfrac{a+b}{2}h$ — то есть точно площадь трапеции. Значит, вычисляя площадь треугольника, мы находим и площадь трапеции.

4. 4

   Применим формулу Герона к треугольнику со сторонами 15, 7 и 20. Проверим существование: $15+7=22>20$. Полупериметр:

   $s=\frac{15+7+20}{2}=21$

   Тогда

   $S=\sqrt{21(21-15)(21-7)(21-20)}=\sqrt{21\cdot 6\cdot 14\cdot 1}=\sqrt{1764}=42$

5. 5

   Проверим результат, найдя высоту напрямую. Опустим обе диагонали на направление основания. Их горизонтальные проекции $x$ и $20-x$ удовлетворяют

   $15^2=x^2+h^2,\qquad 7^2=(20-x)^2+h^2$

   Вычитая, избавляемся от $h^2$:

   $225-49=x^2-(20-x)^2=40x-400\;\Longrightarrow\;40x=576\;\Longrightarrow\;x=14.4$

   Тогда $h^2=225-14.4^2=225-207.36=17.64$, значит, $h=4.2$ и

   $S=10\cdot 4.2=42$

   Два независимых способа дают одинаковый ответ, значит, площадь равна $42$.