Calcular el límite cuando n tiende a infinito de la suma desde i = 1 hasta n de (3 + 2i/n)^2 por (2/n) interpretándolo como una integral definida.

Step-by-step solution

1. 1

   Comparar la suma con la definición de integral. La suma de Riemann por extremos derechos de $f$ en $[a,b]$ es

   $\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(a+i\,\Delta x)\,\Delta x,\qquad \Delta x=\frac{b-a}{n}.$

   Así que la tarea consiste en identificar tres cosas: la anchura $\Delta x$, el punto de muestreo $a+i\,\Delta x$ y la regla $f$.

2. 2

   Leer la anchura y, con ella, la longitud del intervalo. El factor que aparece fuera del cuadrado es $\dfrac{2}{n}$, luego

   $\Delta x=\frac{2}{n}=\frac{b-a}{n}\quad\Longrightarrow\quad b-a=2.$

3. 3

   Leer el extremo izquierdo. El punto de muestreo es $3+\dfrac{2i}{n}=3+i\,\Delta x$. Al compararlo con $a+i\,\Delta x$ se obtiene $a=3$, y entonces $b=a+2=5$. (La constante que no está multiplicada por $i$ es siempre el extremo izquierdo.)

4. 4

   Leer la función. Lo que se le hace al punto de muestreo es elevarlo al cuadrado, así que $f(x)=x^{2}$. Juntando las tres piezas,

   $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left(3+\frac{2i}{n}\right)^{2}\frac{2}{n}=\int_{3}^{5}x^{2}\,dx.$

5. 5

   Calcular la integral.

   $\int_{3}^{5}x^{2}\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{3}^{5}=\frac{125}{3}-\frac{27}{3}=\frac{98}{3}\approx 32.667.$

   Comprobación: sumar directamente con $n=10^{6}$ da $32.66668$, que coincide con $\tfrac{98}{3}$ hasta la quinta cifra decimal. Nótese que la forma de la respuesta no es única por casualidad: escribir el mismo límite con $a=0,\ b=2$ y $f(x)=(3+x)^{2}$ da el mismo número.