求當 x 趨於無窮大時 (2x − 3)/(x² + 3x) 的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   動手算之前先看次數。 分子的次數是 $1$，分母的次數是 $2$。對有理函數來說，分子次數較低時，無窮遠處的極限就是 $0$；次數相等時極限是首項係數之比；分子次數更高時則趨於 $\pm\infty$。本題屬於第一種情形，下面的推演只是把它做實。

2. 2

   分子分母同除以分母的最高次方 $x^{2}$。

   $\frac{2x-3}{x^{2}+3x}=\frac{\frac{2x}{x^{2}}-\frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{3x}{x^{2}}}=\frac{\frac{2}{x}-\frac{3}{x^{2}}}{1+\frac{3}{x}}$

   除以 $x^2$（而不是除以 $x$），才能保證分母穩定到一個非零的常數。

3. 3

   讓各個倒數次方項趨於零。 當 $x\to\infty$ 時，

   $\frac{2}{x}\to 0,\qquad\frac{3}{x^{2}}\to 0,\qquad\frac{3}{x}\to 0$

4. 4

   把結果拼起來。

   $\frac{0-0}{1+0}=\frac{0}{1}=0$

   分母趨於 $1$ 而不是 $0$，這才使得這一步是一次合法的直接代入，而不是又一個未定型。

5. 5

   從圖形上解讀結果。 這個極限說明曲線 $y=\dfrac{2x-3}{x^{2}+3x}$ 有水平漸近線 $y=0$。數值上，$x=1000$ 時函數值是 $0.00199$，$x=10^{6}$ 時是 $0.0000020$，衰減速度大約像 $2/x$ ✓。