Вычислить интеграл 1/x по x.

Step-by-step solution

1. 1

   Почему здесь не работает стандартное правило степеней. Формула $\int x^{p}dx=\dfrac{x^{p+1}}{p+1}$ не применима при $p=-1$, так как знаменатель $p+1$ обращается в ноль. Поэтому $\int x^{-1}dx$ — единственное исключение из этого семейства и требует отдельного подхода.

2. 2

   Вспомним производную логарифма. Для $x>0$, $\dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}$, то есть $\ln x$ — первообразная, но только на положительной оси, так как $\ln x$ не определён при $x\le 0$.

3. 3

   Рассмотрим отрицательные $x$, где подынтегральная функция всё ещё определена. $\dfrac1x$ определена и при $x<0$, значит, и там должна существовать первообразная. Для $x<0$ запишем $|x|=-x$ и продифференцируем по правилу цепочки:

   $\frac{d}{dx}\ln(-x)=\frac{1}{-x}\cdot(-1)=\frac{1}{x}$

   Получается та же производная, что и для положительных $x$, — именно поэтому модуль под логарифмом и нужен.

4. 4

   Объединяем оба случая в одну формулу.

   $\int\frac{1}{x}\,dx=\ln\left|x\right|+C\qquad(x\neq 0)$

   Если бы записали $\ln x+C$, то ответ был бы справедлив только при $x>0$, а при отрицательных $x$ выражение стало бы неопределённым.

5. 5

   Важное замечание о постоянной интегрирования. Так как область определения $x\neq 0$ разбита на две несвязанные части, постоянная интегрирования может отличаться для $x>0$ и $x<0$: в самом общем виде первообразная — это $\ln|x|+C_{1}$ для $x>0$ и $\ln|x|+C_{2}$ для $x<0$. Для определённых интегралов это важно: например, интеграл через $0$, такой как $\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x}$, является несобственным и расходится, а не равен $\ln 1-\ln 1=0$.