Вычислить несобственный интеграл x·e^(−x²) dx от x = 0 до бесконечности.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем несобственный интеграл как предел. Верхний предел интегрирования равен бесконечности, поэтому по определению несобственного интеграла рассматривается предел определённых интегралов. Это позволяет корректно говорить о сходимости:

   $\int_0^{\infty}x\,e^{-x^2}dx=\lim_{b\to\infty}\int_0^{b}x\,e^{-x^2}dx$

2. 2

   Выполним замену переменной $u=x^2$. Множитель $x$ в подынтегральной функции идеально подходит для такой подстановки — именно поэтому $x\,e^{-x^2}$ интегрируется в элементарных функциях, а $e^{-x^2}$ — нет:

   $u=x^2,\qquad du=2x\,dx,\qquad x\,dx=\frac{du}{2}$

   Пределы интегрирования также меняются: $x=0\Rightarrow u=0$ и $x=b\Rightarrow u=b^2$.

3. 3

   Выполним интегрирование по $u$.

   $\int_0^{b}x\,e^{-x^2}dx=\frac12\int_0^{b^2}e^{-u}du=\frac12\left[-e^{-u}\right]_0^{b^2}=\frac12\left(1-e^{-b^2}\right)$

4. 4

   Переходим к пределу. При $b\to\infty$ имеем $b^2\to\infty$ и $e^{-b^2}\to 0$:

   $\int_0^{\infty}x\,e^{-x^2}dx=\lim_{b\to\infty}\frac12\left(1-e^{-b^2}\right)=\frac12$

   Интеграл сходится, причём остаток быстро убывает: уже при $b=3$ вклад хвоста — всего $\tfrac12 e^{-9}\approx 6\times 10^{-5}$.

5. 5

   Сравним с родственным результатом. Поскольку подынтегральная функция нечётная, тот же первообразный даёт $\int_{-\infty}^{\infty}x\,e^{-x^2}dx=0$, а вот для чётного случая $\int_0^{\infty}e^{-x^2}dx=\tfrac{\sqrt\pi}{2}\approx 0.886$ первообразная не выражается через элементарные функции. Сравнение показывает, как один множитель $x$ радикально меняет задачу: с ним — точное значение $\tfrac12$, без него — только через «гауссов трюк».