求 y = (x - 1)^x 的導函數。

Step-by-step solution

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   先看清為什麼標準公式都用不上。 乘冪法則 $\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$ 需要常數指數，指數法則 $\frac{d}{dx}a^x=a^x\ln a$ 需要常數底數。這裡底數 $x-1$ 與指數 $x$ 都在變，所以兩個公式都不能用，把它們混著用只會得到胡說八道。解法是對數微分法。

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   先寫出定義域。 要讓 $(x-1)^x$ 在指數會變動的情況下仍是實數次方，底數必須為正：

   $x-1>0\qquad\Longleftrightarrow\qquad x>1$

   以下所有推導都在 $(1,\infty)$ 上成立，而這也正好是 $\ln(x-1)$ 有意義的範圍。

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   兩邊取自然對數。 對數會把指數變成係數，這就是整個做法的重點：

   $\ln y=\ln\bigl((x-1)^x\bigr)=x\ln(x-1)$

   右邊現在是兩個熟悉函數的普通乘積。

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   兩邊對 $x$ 微分。 左邊的 $y$ 是 $x$ 的函數，所以連鎖律給出 $\frac{1}{y}\,y'$——隱函數微分就是在這裡進場的。右邊則用乘積律：

   $\frac{d}{dx}\bigl(x\ln(x-1)\bigr)=1\cdot\ln(x-1)+x\cdot\frac{1}{x-1}$

   所以

   $\frac{y'}{y}=\ln(x-1)+\frac{x}{x-1}$

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   解出 $y'$ 並把原函數代回去。 兩邊乘上 $y$，再用 $y=(x-1)^x$ 取代：

   $\boxed{\,y'=(x-1)^x\left(\ln(x-1)+\frac{x}{x-1}\right)\,}$

   答案裡一定會含有原式當因式——這是對數微分法的典型特徵，而前面漏掉 $(x-1)^x$ 正是最常見的錯誤。

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   用數值檢查。 在 $x=3$ 時公式給出 $2^3\left(\ln 2+\tfrac{3}{2}\right)=8(0.6931+1.5)\approx 17.545$。對 $(x-1)^x$ 在 $x=3$ 取 $h=10^{-6}$ 的中央差分商得到 $17.5452$，所以導函數沒錯。同一套模板適用於任何 $f(x)^{g(x)}$：它的導函數是 $f^g\left(g'\ln f+\frac{gf'}{f}\right)$。