Resolver la inecuación |x + 1| + |x + 2| > 3.

Step-by-step solution

1. 1

   Halla los vértices. Cada valor absoluto cambia de fórmula donde su interior vale cero:

   $x+1=0\Rightarrow x=-1,\qquad x+2=0\Rightarrow x=-2$

   Estos dos puntos cortan la recta en tres intervalos: $x<-2$, $-2\le x<-1$ y $x\ge-1$. En cada uno de ellos los dos valores absolutos se pueden sustituir por expresiones lineales sin más.

2. 2

   Caso 1: x < -2 (los dos interiores negativos). Entonces $|x+1|=-x-1$ y $|x+2|=-x-2$, de modo que

   $-2x-3>3\Rightarrow -2x>6\Rightarrow x<-3$

   Dividir entre $-2$ invierte la desigualdad. Al intersecar $x<-3$ con la condición del caso, $x<-2$, queda $x<-3$.

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   Caso 2: -2 <= x < -1 (signos mixtos). Aquí $|x+1|=-x-1$ pero $|x+2|=x+2$, y los términos en $x$ se cancelan:

   $(-x-1)+(x+2)=1>3$

   Esto es falso para todo $x$ del intervalo, así que la franja central no aporta nada. Geométricamente, la suma de las dos distancias es constante e igual a $1$ entre los vértices.

4. 4

   Caso 3: x >= -1 (los dos interiores no negativos). Entonces

   $(x+1)+(x+2)=2x+3>3\Rightarrow 2x>0\Rightarrow x>0$

   Al intersecar con $x\ge-1$ queda $x>0$.

5. 5

   Une los casos.

   $x<-3\quad\text{o}\quad x>0,\qquad\text{es decir}\qquad(-\infty,-3)\cup(0,\infty)$

6. 6

   Lee la respuesta como distancias y luego verifica. $|x+1|+|x+2|$ es la distancia total de $x$ a $-1$ y a $-2$; su mínimo es la separación $1$, alcanzada en todo el intervalo central, y fuera crece $2$ por cada unidad, así que llega a $3$ exactamente una unidad fuera de cada vértice, en $x=-3$ y en $x=0$. Comprobación: $|{-2}|+|{-1}|=3$ en $x=-3$ ✓ y $|1|+|2|=3$ en $x=0$ ✓, y un barrido de $1601$ puntos de prueba desde $-8$ hasta $8$ coincide con el conjunto solución enunciado en todos ellos ✓.