(3x⁴ − 4x² + 8x − 1) ÷ (x − 2) 的商是多少？

Step-by-step solution

1. 1

   先把被除式的每一個次方都寫齊。 長除法是按次數對齊的，缺掉的那一項必須用係數 0 占位。這裡沒有 $x^3$ 項，所以要寫成

   $3x^4 + 0x^3 - 4x^2 + 8x - 1$

   漏掉這一步，是這道題商算錯的頭號原因。

2. 2

   最高次項相除，得到商的第一項。 長除法每一輪只盯著兩邊的最高次項：

   $\frac{3x^4}{x} = 3x^3$

   乘回去再相減：

   $3x^3(x-2) = 3x^4 - 6x^3$

   $(3x^4 + 0x^3 - 4x^2 + \ldots) - (3x^4 - 6x^3) = 6x^3 - 4x^2 + 8x - 1$

3. 3

   對新的最高次項重複同樣的動作。 現在剩下的部分以 $6x^3$ 打頭：

   $\frac{6x^3}{x} = 6x^2, \qquad 6x^2(x-2) = 6x^3 - 12x^2$

   相減之後剩下

   $8x^2 + 8x - 1$

4. 4

   再來兩輪就除完了。 從 $8x^2$ 開始：

   $\frac{8x^2}{x} = 8x, \qquad 8x(x-2) = 8x^2 - 16x \ \Rightarrow\ 24x - 1$

   再從 $24x$ 開始：

   $\frac{24x}{x} = 24, \qquad 24(x-2) = 24x - 48 \ \Rightarrow\ 47$

   剩下的 $47$ 是 $0$ 次的，次數已經低於除式，除法到此為止。

5. 5

   用除法原理的恆等式檢驗。 正確的除法必須滿足 被除式 $=$ 除式 $\times$ 商 $+$ 餘數：

   $(x-2)(3x^3 + 6x^2 + 8x + 24) + 47 = 3x^4 - 4x^2 + 8x - 1$

   把左邊展開，逐項都能還原成被除式。等價地，用餘數定理算 $f(2) = 48 - 16 + 16 - 1 = 47$，與餘數完全吻合。